nếu $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực và có bậc không vượt quá $n$ thì

$$\underset{|x|\le 1}{\max}|P"(x)|\le n^2\underset{|x|\le 1}{\max}|P(x)|.$$

Chứng minh của định lý Markov vượt quá chương trình toán THPT. Ta sẽ tìm cách chứng minh những trường hợp riêng khi $n\le 3$ của định lý và khảo sát một số bài toán xung quanh các trường hợp đó.

Trong các bài toán dưới đây, biến số $x$ chỉ nhận giá trị thực.

A. Bất đẳng thức Markov cho đa thức bậc nhất

Bài PT.1. Giả sử $a,b$ là hai số thực sao cho $|ax+b|\le 1$ khi $|x|\le 1$. Chứng minh rằng

(i) $|a|\le 1$.

(ii) $|bx+a|\le 1$ khi $|x|\le 1$.

B. Bất đẳng thức Markov cho các đa thức bậc hai và bậc ba

Bài PT.2. Giả sử $a,b,c$ là ba số thực sao cho các giá trị của đa thức $ax^2+bx+c$ tại $1,0, -1$ đều thuộc đoạn $[-1,1]$.

(i) Chứng minh rằng $|2ax+b|\le 4$ khi $|x|\le 1$.

(ii) Chứng minh rằng $|cx^2+bx+a|\le 2$ khi $|x|\le 1$.

Bài PT.3. Giả sử $a,b,c,d$ là bốn số thực sao cho các giá trị $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ của đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ tương ứng tại $-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1$ đều thuộc đoạn $[-1,1]$.

(i) Chứng minh rằng với mọi số thực $A, B$, ta có đẳng thức $|A +B|+|A -B|=2\max\{|A|,|B|\}$.

(ii) Bằng cách biểu diễn $3ax^2 + 2bx+c$ theo $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ và $x$, hãy chứng minh rằng $|3ax^2+2bx+c|\le 9$ khi $|x|\le 1$.

(iii) Chứng minh rằng $|dx^3+cx^2+bx+a|\le 4$ khi $|x|\le 1$.

C. Hai bất đẳng thức khác cho các tam thức

Bài PT.4. Cho $a,b,c$ là ba số thực và $n$ là một số nguyên dương. Giả sử đa thức $f(x)=ax^{2n}+bx+c$ có các giá trị tại $1, 0, -1$ đều thuộc đoạn $[-1, 1]$. Chứng minh rằng:

(i) $|f(x)|\le \dfrac{2n-1}{\sqrt[2n-1]{4^nn^{2n}}}+1$ khi $|x|\le 1$.

(ii) Với mỗi $1\le M<\infty$, ta có $|f(x)|\le 2M^{2n}-1$ khi $1\le |x|\le M$.

ĐÁP ÁN: xem ở đây