Bài A.2. Phần nguyên của số thực $x$ được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và được kí hiệu là $[x]$. Hiệu $x-[x]$ được gọi là phần lẻ của $x$, và được kí hiệu là $\{ x\}$.

Giả sử $a$, $b$ là các số thực dương và $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng

$$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(a\{ nb\} +b\{ na\}\right) =0$$

khi và chỉ khi $a$ và $b$ là các số nguyên.

Bài A.3. Cho $a\geq 1$ là một số thực và $f:\mathbb R \to\mathbb R$ là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

$\bullet$ $\left(f(ax)\right)^2\le a^3x^2f(x)$ với mọi số thực $x$;

$\bullet$ $f$ bị chặn trên trong một lân cận nào đó của $0$.

Chứng minh rằng $\left|f(x)\right|\le\dfrac{x^2}{a}$ với mọi số thực $x$.

Bài A.4. Cho $f:\mathbb R \to\mathbb R$ là một hàm số khả vi vô hạn lần và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

$$f(0)f"(0)\ge 0,\quad \underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=0.$$

1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy số $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ tăng ngặt và không âm sao cho $$f^{(n)}(x_n)=0$$ với mọi số nguyên dương $n$ (trong đó, $f^{(n)}$ kí hiệu đạo hàm cấp $n$ của $f$).

2. Tồn tại hay không một hàm số $f$ thỏa mãn mọi yêu cầu của đề bài và không đồng nhất bằng 0?

Bài A.5. Với mỗi số thực $0<\alpha\ne 1$, gọi $f_{\alpha}$ là hàm số được xác định trên khoảng $(1,\infty)$ bởi công thức

$$f_{\alpha}(x)=\int_x^{x^{\alpha}}\dfrac{\text{d}t}{\ln t}\quad(\forall x>1).$$ 

1. Chứng minh rằng $f_{\alpha}$ là một phép đồng phôi, tức là một song ánh liên tục, từ khoảng $(1,\infty)$ lên một khoảng $I_{\alpha}\subset\mathbb R$ nào đó sao cho ánh xạ ngược $f_{\alpha}^{-1}:I_{\alpha}\to (1,\infty)$ cũng liên tục.

2. Tìm $I_{\alpha}$.

ĐÁP ÁN: xem ở đây